El quadrat màgic

Per l'interès lingüístic, històric, matemàtic, geomètric, enigmístic i esotèric que s’hi pot trobar, El mel d’Émile publica l'article «El quadrat màgic. Una hipòtesi de desxiframent», firmat per Ernest Díez, Vicenç Pagès i Màrius Serra i que apareix publicat a la revista Els Marges, núm 67, que correspon al mes d'octubre de 2000 però que en realitat s'acaba de distribuir. L'article està format per una primera part que plagia el Verbàlia de Màrius Serra, i per una segona part redactada per Ernest Díez. El tercer «autor» s'ha limitat a retallar i enganxar. També val la pena aclarir que a la versió d'Els Marges s'inclou un seguit d'imatges que faciliten la comprensió del text (el millor que es pot fer per entendre de què va la cosa és imprimir aquest mel, llegir-lo sense pressa i, en cas d'engrescament, ampliar la informació amb el número d'Els Marges). Si algú vol posar-se en contacte amb l'autor de la hipòtesi, és a dir, amb Ernest Díez, jo em presto a fer d'intermediari. He d'afegir que, en l'interval entre la redacció i la publicació, la hipòtesi ha crescut de manera exponencial: a hores d'ara és gairebé un llibre. 

(o bé)

Definició i origen
La denominació "quadrat màgic" designa una construcció en forma de quadrat formada per nombres o lletres. Si són nombres, obtindrem el mateix resultat tant si els sumem en sentit vertical com si ho fem en sentit horitzontal (de vegades, també en diagonal). Si són lletres, formaran les mateixes paraules tant si les llegim en sentit vertical com horitzontal. Naturalment, la dificultat de construir un quadrat màgic augmenta com més alt és el nombre de caselles. El triangle màgic més antic que es coneix està format per cinc paraules de cinc lletres: una de capicua -la central- i quatre de bifronts (paraules que, llegides a l’inrevés, tenen un altre significat). Tant si el llegim en sentit vertical o horitzontal, obtenim una frase palindròmica (és a dir, que es pot llegir igual d’esquerra a dreta o de dreta a esquerra) escrita en llatí. Aquest quadrat es presenta en dues formes, a i b, en cadascuna de les quals es pot llegir el mateix text seguint quatre camins diferents.

Tot i la documentació escrita anterior, el primer exemplar de quadrat màgic es va descobrir l’any 1868, quan una excavació arqueològica dirigida pel capità Abbott, aleshores encarregat del Museu de Cirencester, va trobar aquesta inscripció en un mur al comtat anglès de Gloucester. Aquest primer exemplar no tenia una grandària gaire superior al palmell de la mà, però va exercir una gran fascinació en els arqueòlegs i estudiosos de l'època romàntica. La traducció de la frase que componen els cinc mots continua sent un misteri, especialment pel que fa a la paraula arepo. Les primeres investigacions van revelar que a la zona sud d'Alemanya aquest quadrat màgic era conegut com un encanteri contra el mal de queixal i les mossegades de gos. Els portuguesos l’havien introduït al Brasil al segle XVI i els amerindis l’havien adoptat com un amulet protector contra les serps verinoses, però la pista de les inscripcions antigues comença en el segle XIX a Anglaterra. Després de l'exemplar anglès en van aparèixer d'altres.

Primeres hipòtesis d’interpretació
L'any 1874, un estudiós anomenat C. Wescher va publicar un article en què esmentava un manuscrit grec del segle XIV que reproduïa el quadrat màgic començant per la paraula sator. Wescher estava convençut que el quadrat era un joc de paraules místic dels pensadors bizantins. El manuscrit grec contenia un comentari sobre la frase palindròmica que es genera en desplegar el quadrat. Wescher va traduir-la així: "El sembrador porta l'arada, i la seva tasca (de llaurar) ocupa les rodes".

Wescher nega qualsevol valor màgic a l'artifici, de manera que el format palindròmic és considerat un pur joc d'origen medieval. Altres estudiosos van rebutjar la simplificació antiromàntica de Wescher tot insistint en les inquietants simetries del quadrat màgic. El vers sotàdic llatí "Rotas opera tenet arepo sator" pivota sobre la N del mot tenet i aquest palíndrom de cinc lletres forma una creu en el centre del quadrat. Les especulacions van créixer l'any 1899 quan va aparèixer un article de Haverfield a l'Archeological Journal que oferia evidències de l’origen romà del quadrat màgic. Pel que fa al mot arepo, Haverfield creu descobrir-hi influències celtes relacionades amb l'antiga unitat de mesura gal·la arepennis. D’altra banda, esmenta un altre exemplar del quadrat màgic gravat en una placa de terracota a la porta del cor de la capella de Saint Laurent, molt a prop de Rochemaure (Rocamaura), al sud de França. Haverfield també relaciona el quadrat màgic amb les inscripcions laberíntiques de l'antiga Orléansville, al nord d'Algèria, i amb la que el príncep Silo va fer inscriure en una església asturiana. Conclou, per tant, que el quadrat màgic no és un artifici aïllat, sinó que forma part d'una tradició rica i plural.

D'altres especulacions sobre el presumpte origen compte de l'artifici, avalades per la troballa el 1899 d'un papir que el reproduïa començant per la paraula rotas, van transformar el quadrat màgic en un centre d'interès per als estudiosos. L'egiptologia era un camp incipient que provocava grans polèmiques, i les troballes arqueològiques es succeïen. La majoria de veus es negaven a atorgar al quadrat màgic un origen anterior a l'edat mitjana. De fet, aquesta posició els era més còmoda perquè permetia definir-lo com un pur artifici medieval sense cap més transcendència. Però l'any 1926 sorgeix una veu discordant. L'alemany Felix Grösser aventura una hipòtesi que contradiu les tesis medievalistes dels seus col·legues: el quadrat màgic és un criptograma que oculta un missatge cristià. Tot recombinant-ne les lletres, aconsegueix formar una creu anagramàtica que conté l'expressió duplicada Pater noster amb l'afegit d'una A i una O a cada punta, que ell transformen en l’alfa i l’omega:

L'investigador alemany suggereix aquesta disposició en creu perquè l'única lletra que no es repeteix és la N, que forma l’eix. També situa les dues A i les dues O sobrants als quatre extrems d'acord amb la revelació de Sant Joan: "Jo sóc l'alfa i l'omega, el principi i el final" (Apocalipsi I, 8). Aquesta troballa el du a defensar el significat simbòlic del quadrat entre els primers cristians, de manera anàloga a l'origen acròstic del peix que identificava els primers seguidors de Crist. La seva interpretació reforça el paper sagrat del palíndrom i transforma el quadrat màgic en una estratègia criptogràfica per ocultar l'autèntic missatge, desxifrable només pels iniciats.

L’any 1933 un equip d'arqueòlegs que excavaven al desert sirià va trobar un nou quadrat màgic a Dura Europos, una antiga ciutat del curs alt de l'Eufrates destruïda pels sassànides al segle III dC. Els documents que acrediten les troballes arqueològiques els recull Rostovtzeff en dos estudis que van ser determinants perquè molts estudiosos donessin suport obert a la hipòtesi cristiana a la que Grösser havia arribat per la via anagramàtica. Les especulacions arribaven així a un consens: el concepte simbolitzat pel quadrat màgic s'aproximava a la fórmula "Pater Omnipotens Aeterna Deus" i revelava que els primers cristians s'havien valgut de tècniques enigmístiques per ocultar la seva identitat. Les excavacions de francesos i nord-americans a Dura Europos aviat van confirmar que els habitants d'aquesta ciutat (propera a Palmira i hereva del mític rei Salomó) havien parlat moltes llengües i havien pregat a moltes divinitats. La inscripció trobada era al costat d'una altra que repoduïa un vers de Virgili. L'origen del quadrat màgic quedava així acotat als dos segles que separen la mort de Jesucrist de la caiguda de Dura Europos.

La descoberta l’any 1936 d'un nou quadrat màgic a les excavacions de Pompeia va acabar de centrar el debat. Aquesta troballa projectava l'origen del quadrat a una data anterior a l'erupció del Vesubi i rebatia amb contundència la hipòtesi francòfila defensada fins llavors per Guillaume de Jerphanion i Jérome Carcopino. Segons Carcopino, Ireneu de Lió havia creat el quadrat al segle II en el si d'una primera comunitat de cristians del sud de França que van acabar devorats per les bèsties del circ l'any 177. La hipòtesi de Lió no entrava en contradicció amb la troballa de Dura Europos perquè molts d'aquests cristians provenien de les regions desèrtiques de l'Àsia Menor, però el quadrat màgic de Pompeia era un segle anterior. Jerphanion i Carcopino van posar en dubte la troballa pompeiana amb arguments diversos, com ara que podia ser una inscripció feta després de l'erupció del Vesubi o que l'activitat d'ocultar símbols cristians mitjançant criptogrames no apareix fins a les persecucions del segle III. Però la hipòtesi lionesa trontollava.

El 1954 unes excavacions a Budapest van permetre descobrir encara un altre quadrat màgic en una vil·la romana dels voltants de l'any 107, tal com recull Szilagyi. Aquest cop la inscripció anava acompanyada d'un vers sotàdic incomplet ("Roma tibi sub/it...") escrit de la mateixa mà. Borgmann hi reconeix el palíndrom "Roma tibi subito motibus ibit amor" i recorda que fins llavors la font més antiga d'aquest vers sotàdic era una carta del segle V en la qual Sidoni Apol·linar ja el titlla d'antic ("sic est illud antiquum). El fet que l'autor material de la inscripció hongaresa col·loqui un palíndrom convencional al costat del quadrat màgic fa que Borgmann afirmi que potser el quadrat és tan sols un exemple curiós de vers sotàdic que s'inscriu en la tradició grega que recullen els poetes llatins.

Més enllà de les petites discordances cronològiques, la reveladora deconstrucció que Grösser va fer del quadrat màgic es manté indiscutida. En canvi, la paraula arepo ha generat moltes especulacions. Martin Gardner recull la tesi celta de Haverfield, que associa arepo a una arada i aporta una dada sorprenent: el quadrat màgic apareix al segell personal de Cyrus McCormick -de nissaga celta-, inventor de la màquina segadora. Sigui com sigui, la hipòtesi celta que associa arepo a l'arada o al carro és la més defensada. Però n'hi ha moltes més. També s'hi ha volgut veure una variant del verb llatí erepo ("sortir arrossegant-se" o "enfilar-se"), de manera que la frase podria al·ludir a Déu que abandona la seva obra després d'haver-la proveïda de rodes, o sigui després d'haver-la completada. Una altra especulació nega que arepo sigui un mot i el transforma en l'acrònim de la fórmula "Aeternus Redemptor Et Pastor Omnipotens". Una tercera hipòtesi es basa en la possible lectura bustrofèdica del quadrat, la qual eliminaria de la frase rotas i també el problemàtic arepo, tot transformant-la en un palíndrom per paraules: "El sembrador té en les seves mans les obres, les obres té en les seves mans el sembrador" (sator opera tenet tenet opera sator). Tanmateix, per més que l'escriptura bustrofèdica era ben viva al segle I, no es practicava mai amb l'alfabet llatí sinó amb el grec. Una quarta línia especulativa ha arribat a formular que arepo és un nom propi.

Roger Millington relata com, el gener de 1925, un lector de The Times adreça una carta al director demanant informació sobre el misteriós quadrat. Dos dies després el reverend W. Hopkinson assenyala que a l'església de Great Gidding de la diòcesi d'Ely hi ha una peça octogonal de roure que mostra la inscripció del quadrat sota la data 1614 i entre les lletres E i R. Hopkinson havia descobert que E.R. eren les inicials d'Edward Rumbolt, el pàrroc titular l’any 1614. Pel que fa al sentit del misteriós palíndrom, Hopkinson divideix el problemàtic arepo i suggereix que cal llegir-ho "sat orare poten? et opera rotas" ("Ets capaç d'orar prou? I barboteges durant la litúrgia"), perquè segons ell opera es feia servir en llatí medieval per designar la litúrgia. El mètode Hopkinson va produir altres cartes al director: anagrames en la línia del "Pater Noster A W " de Grösser o fins i tot contraccions d'un himne llatí dels cristians primitius que inicialment feia "Sat orare poten(ter) et opera(re) r(ati)o t(u)a s(it)".

La fascinació que els quadrats màgics han exercit sobre creadors de tots els temps és notable, ja que han inspirat els jocs de paraules dits geomètrics, basats en una disposició panacròstica que permet la lectura de totes les lletres en horitzontal i en vertical. Alguns tractadistes hi han volgut veure el predecessor més antic dels mots encreuats. En l’àmbit musical, el compositor vienès Anton von Webern; (1883-1945) el va fer servir per il·lustrar el principi bàsic del mètode dodecatònic que ell mateix va utilitzar des de 1924: l'equiparació de la sèrie bàsica, inversió, retrogradació i la inversió de la retrogradació. Amb el temps, les hipòtesis sobre el primer quadrat màgic s’han multiplicat. L’únic indiscutible és que, ara per ara, ningú en sap el significat amb certesa.

La hipòtesi d’Ernest Díez Sureda
Aquesta hipòtesi s’origina a partir de dues pistes. La primera és el fet que les cinc paraules que componen el text siguin per elles mateixes, o bé palíndrom (tenet) o bé bifronts (sator-rotas, arepo-opera). Aquesta circumstància fa que sigui possible llegir el mateix text des de quatre punts diferents, i suggereix una rotació doble i contraposada.

La segona pista la dóna la lletra central, N, que és, des del punt de vista gràfic, palindròmica o capicua, i suggereix alhora una rotació.

A la natura, una de les formes més freqüents de rotació, per no dir la predominant, és l’espiral. Aquesta figura geomètrica està present, en alguna de les seves variants, en l’origen de moltes formes de vida. Les galàxies, i per tant l’univers sencer, es mouen seguint aquest sistema rotatiu.

Afegim-hi la possibilitat que el significat del quadrat màgic, com tants altres enigmes, se solucioni a partir d’una clau amagada, que sol ser el primer entrebanc que cal solucionar i que, un cop superat, desvela la solució.

Segons la hipòtesi d’Ernest Díez Sureda, la clau amagada del quadrat màgic és la paraula rota, que ens indica com "obrir" la porta de l’enigma, això és, "fent rodar" (rota és l’imperatiu del verb llatí roto-as-are-av-atum, que equival al verb "rodar"). Cal rodar, doncs, a partir de la "clau", però deixant la pròpia clau fora del trajecte. El camí en espiral dóna la següent successió de lletres:

Aquest punt representa la meitat del trajecte. Ara bé, el camí és palindròmic, de manera que cal tornar enrere perquè també sigui gràficament capicua. La successió de lletres que obtenim és la següent:

Si ajuntem les dues successions de lletres, obtenim el palíndrom final:

Si iniciem el doble recorregut pels altres dos punts possibles, el resultat és el mateix.

Comprovació geomètrica
Per efectuar aquesta comprovació hem de prendre el quadrat màgic dividit en caselles, prescindit de les lletres. Veurem, així, com el recorregut proposat per la hipòtesi d’Ernest Díez Sureda està format per dues espirals de dos centres (un dels quals compartit), idèntiques i que giren sobre el mateix eix, que no és altre que la diagonal NO-SE del quadrat màgic.

En el seu recorregut, aquestes espirals ressegueixen amb precisió les caselles que marquen el text (les caselles corresponents a la clau rota queden excloses del trajecte).

La fórmula per aconseguir l’única proporció que cal conèixer per dibuixar correctament la trajectòria de l’espiral és la següent (on X és la distància entre els centres, i AB la diagonal de la casella central del quadrat màgic):

o bé

Si el quadrat màgic estigués representat per l’altra versió (la que hem anomenat 3b), la diagonal seria l’altra, és a dir, SO-NE, tot i que el resultat seria el mateix.

Sobreposant els vuit camins possibles de les dues versions (quatre camins per cada versió), obtindrem una rosassa, composta de vuit espirals, que formen deu cercles.

Comprovació numerològica
Si apliquem la numerologia al quadrat màgic, ens adonarem del protagonisme que adopta el número 1. Es tracta de substituir cada lletra pel número d’ordre que té en l’alfabet llatí (segons la taula d’equivalències universal), i per la suma dels números si el resultat obtingut és superior a 9

Si substituim les lletres pel seu valor numèric, obtenim:

La suma de les caselles horitzontals dóna 5, que, afegits a la suma de les caselles verticals, que també és 5, dóna 10, és a dir, 1.

La suma de la successió de lletres que proposa la hipòtesi d’Ernest Díez Sureda dóna 190, és a dir, 1.

D’altra banda, el valor numèric de la clau, rota, és nul, és a dir, no compta: serveix únicament per obtenir el missatge, però no forma part del missatge, tal com indica la hipòtesi (el número 9 equival a zero, ja que, sumat a qualsevol altre nombre, no n’altera el resultat numerològic).

Anàlogament, l’anàlisi numerològica del resultat geomètric també dóna 1, ja que les 8 espirals de la rosassa formen 10 cercles (10 = 1 + 0 = 1).

En definitiva, el quadrat màgic sembla un mitjà de coneixement esotèric, és a dir, assequible tan sols als iniciats: una discreta manera de sintetitzar un cabal de saber matemàtic i geomètric, i de recordar que, com deia Einstein, la naturalesa no fa salts, sinó que es mou amb un ritme rotatiu i constant.